FFTの仕様とコンベンション
このドキュメントでは、gwexpy における高速フーリエ変換（FFT）の数学的定義、正規化（Normalization）、および符号の定義について詳述します。
1. 時間方向のFFT (fft_time)
時間方向のFFTは時間軸（軸0）に対して適用されます。これは gwpy および標準的な重力波データ解析の手法との互換性を重視して設計されています。
正規化 (Normalization)
順変換において \(1/N\) 正規化 が適用されます。これにより、正弦波 \(A \sin(\omega t)\) の振幅は、得られた振幅スペクトル上で \(A\) として現れます（片側スペクトルの補正係数考慮後）。
逆変換（ifft_time）はこの正規化を解除します。
スペクトルの定義
タイプ: 片側スペクトル (
rfft)。非負の周波数成分のみが返されます。係数補正: 全パワーを維持するため、DC（直流）成分とナイキスト成分を除くすべてのビンが 2 倍されます。
周波数軸: \(f = [0, 1/2dt]\)。
符号の定義 (Sign Convention)
順変換 (Forward): \(X[k] = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i 2\pi k n / N}\)
逆変換 (Inverse): \(x[n] = \sum_{k=0}^{N/2} X[k] e^{i 2\pi k n / N}\) （ビンの重み付けを考慮）
2. 空間方向のFFT (fft_space)
空間方向のFFTは空間軸（軸1, 2, 3）に対して適用されます。多次元格子上の物理フィールド解析向けに設計されています。
正規化 (Normalization)
正規化なし。順変換では係数の適用を行わず、標準的な numpy.fft.fftn の挙動に従います。
逆変換（ifft_space）において \(1/N\) 正規化が適用されます。
スペクトルの定義
タイプ: 両側スペクトル。正負両方の波数成分が返されます。
波数軸: デフォルトでは 角波数 (Angular wavenumber) \(k = 2\pi / \lambda\) が生成されます。
配列の順序: ゼロ周波数（DC）成分がインデックス 0 に配置されます（fftshiftは行われません）。可視化の際に中心化が必要な場合は、外部で
numpy.fft.fftshiftを使用してください。
符号の定義 (Sign Convention)
順変換 (Forward): \(X[\mathbf{k}] = \sum_{\mathbf{n}} x[\mathbf{n}] e^{-i 2\pi \sum k_j n_j / N_j}\)
逆変換 (Inverse): \(x[n] = \frac{1}{\prod N_j} \sum_{\mathbf{k}} X[\mathbf{k}] e^{i 2\pi \sum k_j n_j / N_j}\)
3. スペクトル密度 (spectral_density, compute_psd)
spectral_density メソッドは、Welch法（平均累加ピリオドグラム）を用いたパワースペクトル密度（PSD）推定を提供します。
スケーリング (Scaling)
Density: 単位周波数/波数分解能あたりのパワーを返します（\(V^2 / \text{Hz}\) または \(V^2 / [\text{unit}^{-1}]\)）。
Spectrum: 各ビンにおけるトータルのパワーを返します（\(V^2\)）。
波数に関する注意
fft_space が角波数 (\(k = 2\pi/\lambda\)) を使用するのに対し、spectral_density(axis='x') はデフォルトで 角速度ではない波数 (\(f_k = 1/\lambda\)) を生成します（scipy.signal.welch の仕様に準拠）。
角波数に変換する場合は、得られた軸に \(2\pi\) を乗じてください。
4. 正規化一覧表
メソッド |
正規化 (順変換) |
ドメイン |
符号 (\(ikx\)) |
|---|---|---|---|
|
\(1/N\) |
片側 (One-sided) |
負 (Negative) |
|
\(N\) |
片側 (One-sided) |
正 (Positive) |
|
\(1\) |
両側 (Two-sided) |
負 (Negative) |
|
\(1/N\) |
両側 (Two-sided) |
正 (Positive) |
|
Welch / \(1/N^2\) |
片側 (One-sided) |
N/A (絶対値2乗) |