TensorField クラス入門

このチュートリアルでは、gwexpy の TensorField クラスを紹介します。これは4次元時空におけるテンソル値場を表現するクラスです。

TensorField とは

TensorField は、各テンソル成分が ScalarField であるようなテンソル値物理場を管理するコンテナです。テンソルは、スカラー（ランク0）、ベクトル（ランク1）を高次に一般化した数学的対象で、相対論、応力/ひずみ解析、電磁気理論などで一般的に登場します。

主な機能:

  • 任意のランク: ランク2、ランク3、それ以上のテンソルをサポート

  • 成分インデックス: タプルインデックスによる成分アクセス（例: (0, 0), (1, 2)）

  • テンソル演算: トレース、縮約、その他のテンソル代数

  • 一貫した構造: すべての成分が同一の時空軸を共有

一般的な使用例:

  • ランク2テンソル: 応力テンソル、ひずみテンソル、計量テンソル、リッチテンソル

  • 電磁テンソル: 場の強さテンソル F_μν

  • 高次ランク: リーマン曲率テンソル（ランク4）など

基本的な使い方

ランク2 TensorField の作成

簡単な2×2応力テンソル場を作成してみましょう:

import numpy as np
from astropy import units as u
from gwexpy.fields import ScalarField, TensorField

# 時空グリッドのセットアップ
nt, nx, ny, nz = 50, 8, 8, 8
t = np.arange(nt) * 0.02 * u.s
x = np.arange(nx) * 1.0 * u.m
y = np.arange(ny) * 1.0 * u.m
z = np.arange(nz) * 1.0 * u.m

# 応力テンソル σ を作成
# σ_00: x方向の垂直応力
data_00 = np.ones((nt, nx, ny, nz)) * 100  # 100 Pa
field_00 = ScalarField(
    data_00, unit=u.Pa, axis0=t, axis1=x, axis2=y, axis3=z,
    axis_names=['t', 'x', 'y', 'z'], axis0_domain='time', space_domain='real'
)

# σ_11: y方向の垂直応力
data_11 = np.ones((nt, nx, ny, nz)) * 80  # 80 Pa
field_11 = ScalarField(
    data_11, unit=u.Pa, axis0=t, axis1=x, axis2=y, axis3=z,
    axis_names=['t', 'x', 'y', 'z'], axis0_domain='time', space_domain='real'
)

# σ_01 = σ_10: せん断応力（対称）
data_01 = np.sin(2 * np.pi * t.value[:, None, None, None]) * 20
field_01 = ScalarField(
    data_01, unit=u.Pa, axis0=t, axis1=x, axis2=y, axis3=z,
    axis_names=['t', 'x', 'y', 'z'], axis0_domain='time', space_domain='real'
)

# TensorField を作成
# キーはテンソルインデックスを表すタプル
stress_tensor = TensorField({
    (0, 0): field_00,
    (0, 1): field_01,
    (1, 0): field_01,  # 対称: σ_10 = σ_01
    (1, 1): field_11,
}, rank=2)

print(f"テンソルのランク: {stress_tensor.rank}")
print(f"成分: {list(stress_tensor.keys())}")

成分へのアクセス

成分はタプルインデックスを使用してアクセスします:

# 対角成分にアクセス
sigma_xx = stress_tensor[(0, 0)]
sigma_yy = stress_tensor[(1, 1)]

# 非対角（せん断）成分にアクセス
sigma_xy = stress_tensor[(0, 1)]

テンソルのトレースの計算

ランク2テンソルの場合、トレースは対角要素の和です:

# トレースを計算: Tr(σ) = σ_00 + σ_11
trace = stress_tensor.trace()

print(f"トレースの型: {type(trace)}")  # ScalarField を返す
print(f"平均トレース値: {np.mean(trace.value):.2f} Pa")
# 期待値: ~180 Pa (100 + 80)

実用例: 電磁場テンソル

電磁場テンソル F_μν は、特殊相対論において電場と磁場を統一するランク2の反対称テンソルです。

数学的背景

場テンソルは以下のように定義されます:

F_μν = [ 0    -Ex/c  -Ey/c  -Ez/c ]
       [ Ex/c   0     -Bz    By   ]
       [ Ey/c   Bz     0     -Bx  ]
       [ Ez/c  -By     Bx     0   ]

ここで、E は電場、B は磁場、c は光速です。

実装例

from astropy.constants import c

# 簡略化されたEおよびB場を作成
# ... (実装の詳細は英語版を参照)

# F_μν を構築
F_field = TensorField({
    (0, 0): zero_field,
    (0, 1): Ex_over_c_field,  # -Ex/c
    (1, 0): minus_Ex_over_c_field,  # Ex/c
    (1, 1): zero_field,
}, rank=2)

# トレースを確認（電磁場テンソルではゼロであるべき）
trace_F = F_field.trace()
print(f"電磁テンソルのトレース（~0であるべき）: {np.max(np.abs(trace_F.value)):.2e}")

変換と演算

ScalarField や VectorField と同様に、各テンソル成分は独立に変換できます:

時間-周波数FFT

# すべての成分を周波数領域に変換
stress_tensor_freq = TensorField({
    key: field.fft_time()
    for key, field in stress_tensor.items()
}, rank=stress_tensor.rank)

空間FFT

# k空間に変換
stress_tensor_k = TensorField({
    key: field.fft_space()
    for key, field in stress_tensor.items()
}, rank=stress_tensor.rank)

まとめ

TensorField は時空における洗練されたテンソル計算を可能にします:

  • 柔軟なランク: ランク2、ランク3、それ以上のテンソルをサポート

  • 成分アクセス: タプルベースのインデックス（例: (0, 1)）

  • テンソル演算: トレース、縮約など

  • 変換: 各成分へのFFTと信号処理

  • 物理応用: 応力、ひずみ、電磁場、一般相対論

各Fieldクラスの使い分け

Field クラス

使用例

例

ScalarField

単一値場

温度、圧力、ポテンシャル

VectorField

方向性のある場

速度、力、電場、磁場

TensorField

多成分テンソル

応力、ひずみ、計量、曲率

次のステップ